ECUACIONES LINEALES EN DOS VARIABLES
 

Las definiciones, conceptos e ideas que se discutirán en esta sección son conocidas en cursos tomados anteriormente.  De manera que el propósito será un repaso de  las mismas.

Definición:  Una ecuación de la forma ax+ by = c donde a, b y c son constantes con a diferente de cero, b diferente de cero, x, y variables se conoce como una ecuación lineal en dos variables de forma general.
Ejemplos:  2x + y = 4;  3x - 4y = 9.

Las ecuaciones y = -3x + 5  y  y = -2x  son ecuaciones lineales en dos variables pero no están expresadas de la forma general.  Lo podemos lograr cambiando de lugar los términos correspondientes.  De manera que:
y = -3x + 5  en la forma general es 3x + y = 5
y = -2x  en la forma general es 2x + y = 0

El conjunto solución de una ecuación lineal en dos variables es el conjunto de pares que hace la ecuación cierta.  Por ejemplo: ¿cuál de los siguientes pares ordenados (5,1)  y  (8,3) es solución de la ecuación 3x - 4y = 12?  La respuesta a esta pregunta la podemos hallar  sustituyendo los valores de las coordenadas x y y en la ecuación dada.  Veamos:

1)  Si  3x - 4y = 12  entonces 3(5) - 4(1) = 15 - 5 = 10.  Por tanto, el par ordenado (5, 1) no es solución de la ecuación 3x - 4y = 12.

2)  Si 3x - 4y = 12 entonces 3(8) - 4(3) = 24 - 12 = 12.  Por tanto, el par odenado (8, 3) es solución de la ecuación 3x - 4y = 12.


Gráfica de ecuaciones lineales en dos variables

Las gráficas de las ecuaciones lineales son líneas rectas.  Una forma de construir gráfica de líneas recta es a través de interceptos.

La coordenada x del punto donde interseca la gráfica de la ecuación en el eje de x se llama intercepto en x.  Para hallarlo se le asigna a y el valor de cero.  El intercepto en x se expresa de la forma (x, 0).

La coordenada y del punto donde interseca la gráfica de la ecuación en el eje de y se llama intercepto en y.  Para hallarlo se le asigna a x el valor de cero.  El intercepto en y se expresa de la forma (0, y).

Ejemplos para discusión en clase:  Construye la gráfica de cada una de las siguientes ecuaciones usando interceptos.

1)  x - y = 3
2)  2x + 3y = 6

Ejercicio de práctica:  Construye la gráfica de cada una de las siguientes ecuaciones usando interceptos:

1)  3x + 5y = 15
2)  3x - 4y = 12

Pendiente de una recta

Es el grado (medida) de inclinación de una recta, la razón de cambio en y con respecto al cambio en x.

Si una recta pasa por dos puntos distintos (x1, y1) y (x2, y2), entonces su pendiente (m) está dada por:

Esto es,


Ejemplo para discusión en clase:  Dibuja la recta que pasa por los puntos dados y halla la pendiente para cada caso.

1)  (-3,4) y (6, -2)
2)  (-3, -4) y (3, 2)
3)  (-4, 2) y ( 3, 2)
4)  (2, 4) y (2, -3)

Con los ejemplos discutidos podemos observar la interpretación geométrica de la pendiente de una recta:

Pendiente
Tipo de recta
positiva
recta ascendente
negativa
recta descendente
cero
recta horizontal
no definida
recta vertical



Inecuación

Del mismo modo en que se hace la diferencia de igualdad y ecuación, una inecuación que es válida para todas las variables se llama inecuación incondicional y las que son válidas solo para algunos valores de las variables se conocen como inecuaciones condicionales.1 Los valores que verifican la desigualdad, son sus soluciones.

Ejemplo de inecuación incondicional: {|x|\leq |x|+|y|}
{|x|\leq |x|+|y|}.

Ejemplo de inecuación condicional: {-2x+7<2} {-2x+7<2}.


Clasificación

Los criterios más comunes de clasificación del ejemplo: {x<0} x<0.

De dos incógnitas. Ejemplo:
{x<y} {x<y}.

De tres incógnitas. Ejemplo:
{x<y+z} {x<y+z}. etc.

Según la potencia de la incógnita,
De primer grado o lineal. Cuando el mayor exponente de la incógnita de la inecuación es uno. Ejemplo:
{x+1<0} { x+1<0}.

De segundo grado o cuadrática. Cuando el mayor exponente de cualquiera de sus incógnitas es dos. Ejemplo:
{x^{2}+1<0} {x^{2}+1<0}.

De tercer grado o cúbica. Cuando el mayor exponente de cualquiera de sus incógnitas es tres. Ejemplo:
{x^{3}+y^{2}<0} {x^{3}+y^{2}<0}.etc.

Nota: estas clasificaciones no son mutuamente excluyentes, como se muestra en el último ejemplo.

Inecuaciones de segundo grado con una incógnita
Se expresan a través de cualquiera de las desigualdades siguientes (con a, b y c números reales, y a distinto de cero):

-Sistema de inecuaciones
Véase también: Programación lineal

La región de viabilidad en un problema de programación lineal está definida por un sistema de inecuaciones.

En un sistema de inecuaciones intervienen dos o más inecuaciones. No todos los sistemas de inecuaciones tienen solución.

Sistema de inecuaciones de primer grado con una incógnita
Es un conjunto de inecuaciones de primer grado