ECUACIONES LINEALES EN DOS VARIABLES
 

Las definiciones, conceptos e ideas que se discutirán en esta sección son conocidas en cursos tomados anteriormente.  De manera que el propósito será un repaso de  las mismas.

Definición:  Una ecuación de la forma ax+ by = c donde a, b y c son constantes con a diferente de cero, b diferente de cero, x, y variables se conoce como una ecuación lineal en dos variables de forma general.
Ejemplos:  2x + y = 4;  3x - 4y = 9.

Las ecuaciones y = -3x + 5  y  y = -2x  son ecuaciones lineales en dos variables pero no están expresadas de la forma general.  Lo podemos lograr cambiando de lugar los términos correspondientes.  De manera que:
y = -3x + 5  en la forma general es 3x + y = 5
y = -2x  en la forma general es 2x + y = 0

El conjunto solución de una ecuación lineal en dos variables es el conjunto de pares que hace la ecuación cierta.  Por ejemplo: ¿cuál de los siguientes pares ordenados (5,1)  y  (8,3) es solución de la ecuación 3x - 4y = 12?  La respuesta a esta pregunta la podemos hallar  sustituyendo los valores de las coordenadas x y y en la ecuación dada.  Veamos:

1)  Si  3x - 4y = 12  entonces 3(5) - 4(1) = 15 - 5 = 10.  Por tanto, el par ordenado (5, 1) no es solución de la ecuación 3x - 4y = 12.

2)  Si 3x - 4y = 12 entonces 3(8) - 4(3) = 24 - 12 = 12.  Por tanto, el par odenado (8, 3) es solución de la ecuación 3x - 4y = 12.


Gráfica de ecuaciones lineales en dos variables

Las gráficas de las ecuaciones lineales son líneas rectas.  Una forma de construir gráfica de líneas recta es a través de interceptos.

La coordenada x del punto donde interseca la gráfica de la ecuación en el eje de x se llama intercepto en x.  Para hallarlo se le asigna a y el valor de cero.  El intercepto en x se expresa de la forma (x, 0).

La coordenada y del punto donde interseca la gráfica de la ecuación en el eje de y se llama intercepto en y.  Para hallarlo se le asigna a x el valor de cero.  El intercepto en y se expresa de la forma (0, y).

Ejemplos para discusión en clase:  Construye la gráfica de cada una de las siguientes ecuaciones usando interceptos.

1)  x - y = 3
2)  2x + 3y = 6

Ejercicio de práctica:  Construye la gráfica de cada una de las siguientes ecuaciones usando interceptos:

1)  3x + 5y = 15
2)  3x - 4y = 12

Pendiente de una recta

Es el grado (medida) de inclinación de una recta, la razón de cambio en y con respecto al cambio en x.

Si una recta pasa por dos puntos distintos (x1, y1) y (x2, y2), entonces su pendiente (m) está dada por:

Esto es,


Ejemplo para discusión en clase:  Dibuja la recta que pasa por los puntos dados y halla la pendiente para cada caso.

1)  (-3,4) y (6, -2)
2)  (-3, -4) y (3, 2)
3)  (-4, 2) y ( 3, 2)
4)  (2, 4) y (2, -3)

Con los ejemplos discutidos podemos observar la interpretación geométrica de la pendiente de una recta:

Pendiente
Tipo de recta
positiva
recta ascendente
negativa
recta descendente
cero
recta horizontal
no definida
recta vertical



Inecuación

Del mismo modo en que se hace la diferencia de igualdad y ecuación, una inecuación que es válida para todas las variables se llama inecuación incondicional y las que son válidas solo para algunos valores de las variables se conocen como inecuaciones condicionales.1 Los valores que verifican la desigualdad, son sus soluciones.

Ejemplo de inecuación incondicional: {|x|\leq |x|+|y|}
{|x|\leq |x|+|y|}.

Ejemplo de inecuación condicional: {-2x+7<2} {-2x+7<2}.


Clasificación

Los criterios más comunes de clasificación del ejemplo: {x<0} x<0.

De dos incógnitas. Ejemplo:
{x<y} {x<y}.

De tres incógnitas. Ejemplo:
{x<y+z} {x<y+z}. etc.

Según la potencia de la incógnita,
De primer grado o lineal. Cuando el mayor exponente de la incógnita de la inecuación es uno. Ejemplo:
{x+1<0} { x+1<0}.

De segundo grado o cuadrática. Cuando el mayor exponente de cualquiera de sus incógnitas es dos. Ejemplo:
{x^{2}+1<0} {x^{2}+1<0}.

De tercer grado o cúbica. Cuando el mayor exponente de cualquiera de sus incógnitas es tres. Ejemplo:
{x^{3}+y^{2}<0} {x^{3}+y^{2}<0}.etc.

Nota: estas clasificaciones no son mutuamente excluyentes, como se muestra en el último ejemplo.

Inecuaciones de segundo grado con una incógnita
Se expresan a través de cualquiera de las desigualdades siguientes (con a, b y c números reales, y a distinto de cero):

-Sistema de inecuaciones
Véase también: Programación lineal

La región de viabilidad en un problema de programación lineal está definida por un sistema de inecuaciones.

En un sistema de inecuaciones intervienen dos o más inecuaciones. No todos los sistemas de inecuaciones tienen solución.

Sistema de inecuaciones de primer grado con una incógnita
Es un conjunto de inecuaciones de primer grado

Los Vectores

Los Vectores

En física, un vector (también llamado vector euclidiano o vector geométrico) es una magnitud física definida en un sistema de referencia que se caracteriza por tener módulo (o longitud) y una dirección (u orientación). En matemáticas se define un vector como un elemento de un espacio vectorial. Esta noción es más abstracta y para muchos espacios vectoriales no es posible representar sus vectores mediante el módulo y la dirección. En particular los espacios de dimensión infinita sin producto escalar no son representables de ese modo. Los vectores en un espacio euclídeo se pueden representar geométricamente como segmentos de recta dirigidos («flechas») en el plano el espacio.

Algunos ejemplos de magnitudes físicas que son magnitudes vectoriales: la velocidad con que se desplaza un móvil, ya que no queda definida tan solo por su módulo que es lo que marca el velocímetro, en el caso de un automóvil, sino que se requiere indicar la dirección (hacia donde se dirige); la fuerza que actúa sobre un objeto, ya que su efecto depende además de su magnitud o módulo, de la dirección en la que actúa; también, el desplazamiento de un objeto, pues es necesario definir el punto inicial y final del movimiento.

Se llama vector de dimensión  a una tupla de  números reales (que se llaman componentes del vector). El conjunto de todos los vectores de dimensión  se representa como  (formado mediante el producto cartesiano).

Así, un vector  perteneciente a un espacio  se representa como:(left), donde 

Un vector también se puede ver desde el punto de vista de la geometría como vector geométrico (usando frecuentemente el espacio tridimensional  o bidimensional ).

Un vector fijo del plano euclídeo es un segmento orientado, en el que hay que distinguir tres características:1 2 3

•             modulo: la longitud del segmento

•             dirección: la orientación de la recta

•             sentido: indica cual es el origen y cuál es el extremo final de la recta

En inglés, la palabra "dirección" indica tanto la dirección como el sentido del vector, con lo que se define el vector con solo dos características: módulo y dirección.

Los vectores fijos del plano se denotan con dos letras mayúsculas, por ejemplo , que indican su origen y extremo respectivamente.

Tipo de matrices

• Matriz fila

Una matriz fila está constituida por una sola fila.

• Matriz columna

La matriz columna tiene una sola columna

columna

• Matriz rectangular

La matriz rectangular tiene distinto número de filas que de columnas, siendo su dimensión mxn.

• Matriz traspuesta

Dada una matriz A, se llama matriz traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas.

matrices traspuestas

(At)t = A

(A + B)t = At + Bt

(α ·A)t = α· At

(A ·  B)t = Bt · At

• Matriz nula

En una matriz nula todos los elementos son ceros.

• Matriz cuadrada

La matriz cuadrada tiene el mismo número de filas que de columnas.

Los elementos de la forma ahí constituyen la diagonal principal.

La diagonal secundaria la forman los elementos con i+j = n+1, siendo n el orden de la matriz.

Cuadrada

Tipos de matrices cuadradas:

•  Matriz triangular superior.

En una matriz triangular superior los elementos situados por debajo de la diagonal principal son ceros.

• Matriz triangular superior-Matriz triangular inferior

En una matriz triangular inferior los elementos situados por encima de la diagonal principal son ceros.

• Matriz diagonal

En una matriz diagonal todos los elementos que no están situados en la diagonal principal son nulos.

• Matriz escalar

Una matriz escalar es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales.

• Matriz identidad o unidad

Una matriz identidad es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales a 1.

• Matriz regular-Matriz singular.

Una matriz regular es una matriz cuadrada que tiene inversa.

Una matriz singular no tiene matriz inversa.

• Matriz idempotente-Matriz involutiva.

Una matriz, A, es idempotente si:

A2 = A.

Una matriz, A, es involutiva si:

A2 = I.

• Matriz simétrica

Una matriz simétrica es una matriz cuadrada que verifica:

A = At.

• Matriz antisimétrica o hemisimétrica

Una matriz antisimétrica o hemisimétrica es una matriz cuadrada que verifica:

A = −At.

• Matriz ortogonal

Una matriz es ortogonal si verifica que:

A · At = I.

Sistema de aprendizaje matemático

Concepción constructiva Otros matemáticos y profesores de matemáticas consideran que debe haber una estrecha relación entre las matemáticas y sus aplicaciones a lo largo de todo el currículo. Piensan Perspectiva educativa de las matemáticas 21 que es importante mostrar a los alumnos la necesidad de cada parte de las matemáticas antes de que les sea presentada. Los alumnos deberían ser capaces de ver cómo cada parte de las matemáticas satisfacen una cierta necesidad. Ejemplo: Poniendo a los niños en situaciones de intercambio les creamos la necesidad de comparar, contar y ordenar colecciones de objetos. Gradualmente se introducen los números naturales para atender esta necesidad En esta visión, las aplicaciones, tanto externas como internas, deberían preceder y seguir a la creación de las matemáticas; éstas deben aparecer como una respuesta natural y espontánea de la mente y el genio humano a los problemas que se presentan en el entorno físico, biológico y social en que el hombre vive. Los estudiantes deben ver, por sí mismos, que la automatización, la generalización y la abstracción de las matemáticas son necesarias con el fin de comprender los problemas de la naturaleza y la sociedad. A las personas partidarias de esta visión de las matemáticas y su enseñanza les gustaría poder comenzar con algunos problemas de la naturaleza y la sociedad y construir las estructuras fundamentales de las matemáticas a partir de ellas. De este modo se presentaría a los alumnos la estrecha relación entre las matemáticas y sus aplicaciones. La elaboración de un currículo de acuerdo con la concepción constructiva es compleja, porque, además de conocimientos matemáticos, requiere conocimientos sobre otros campos. Las estructuras de las ciencias físicas, biológicas, sociales son relativamente más complejas que las matemáticas y no siempre hay un isomorfismo con las estructuras puramente matemáticas. Hay una abundancia de material disperso sobre aplicaciones de las matemáticas en otras áreas, pero la tarea de selección, secuencian e integración no es sencilla.

(Matrices)

En matemática, una matriz es un arreglo Dimensional de números. Dado que puede definirse tanto la suma como el producto de matrices, en mayor generalidad se dice que son elementos de un anillo. Una matriz se representa por medio de una letra mayúscula(A,B) y sus elementos con la misma letra en minúscula (a, b), con un doble sub índice donde el primero indica la fila y el segundo la columna a la que pertenece.

Las matrices se utilizan para múltiples aplicaciones y sirven, en particular, para representar los coeficientes de los sistemas de ecuaciones lineales o para representar transformaciones lineales dada una base. En este último caso, las matrices desempeñan el mismo papel que los datos de un vector para las aplicaciones lineales.

Pueden sumarse, multiplicarse y descomponerse de varias formas, lo que también las hace un concepto clave en el campo del álgebra linea.