ECUACIONES LINEALES EN DOS VARIABLES
Las definiciones, conceptos e ideas que se discutirán en esta sección son conocidas en cursos tomados anteriormente. De manera que el propósito será un repaso de las mismas.
Definición: Una ecuación de la forma ax+ by = c donde a, b y c son constantes con a diferente de cero, b diferente de cero, x, y variables se conoce como una ecuación lineal en dos variables de forma general.
Ejemplos: 2x + y = 4; 3x - 4y = 9.
Las ecuaciones y = -3x + 5 y y = -2x son ecuaciones lineales en dos variables pero no están expresadas de la forma general. Lo podemos lograr cambiando de lugar los términos correspondientes. De manera que:
y = -3x + 5 en la forma general es 3x + y = 5
y = -2x en la forma general es 2x + y = 0
El conjunto solución de una ecuación lineal en dos variables es el conjunto de pares que hace la ecuación cierta. Por ejemplo: ¿cuál de los siguientes pares ordenados (5,1) y (8,3) es solución de la ecuación 3x - 4y = 12? La respuesta a esta pregunta la podemos hallar sustituyendo los valores de las coordenadas x y y en la ecuación dada. Veamos:
1) Si 3x - 4y = 12 entonces 3(5) - 4(1) = 15 - 5 = 10. Por tanto, el par ordenado (5, 1) no es solución de la ecuación 3x - 4y = 12.
2) Si 3x - 4y = 12 entonces 3(8) - 4(3) = 24 - 12 = 12. Por tanto, el par odenado (8, 3) es solución de la ecuación 3x - 4y = 12.
Gráfica de ecuaciones lineales en dos variables
Las gráficas de las ecuaciones lineales son líneas rectas. Una forma de construir gráfica de líneas recta es a través de interceptos.
La coordenada x del punto donde interseca la gráfica de la ecuación en el eje de x se llama intercepto en x. Para hallarlo se le asigna a y el valor de cero. El intercepto en x se expresa de la forma (x, 0).
La coordenada y del punto donde interseca la gráfica de la ecuación en el eje de y se llama intercepto en y. Para hallarlo se le asigna a x el valor de cero. El intercepto en y se expresa de la forma (0, y).
Ejemplos para discusión en clase: Construye la gráfica de cada una de las siguientes ecuaciones usando interceptos.
1) x - y = 3
2) 2x + 3y = 6
Ejercicio de práctica: Construye la gráfica de cada una de las siguientes ecuaciones usando interceptos:
1) 3x + 5y = 15
2) 3x - 4y = 12
Pendiente de una recta
Es el grado (medida) de inclinación de una recta, la razón de cambio en y con respecto al cambio en x.
Si una recta pasa por dos puntos distintos (x1, y1) y (x2, y2), entonces su pendiente (m) está dada por:
Esto es,
Ejemplo para discusión en clase: Dibuja la recta que pasa por los puntos dados y halla la pendiente para cada caso.
1) (-3,4) y (6, -2)
2) (-3, -4) y (3, 2)
3) (-4, 2) y ( 3, 2)
4) (2, 4) y (2, -3)
Con los ejemplos discutidos podemos observar la interpretación geométrica de la pendiente de una recta:
Pendiente
Tipo de recta
positiva
recta ascendente
negativa
recta descendente
cero
recta horizontal
no definida
recta vertical
Inecuación
Del mismo modo en que se hace la diferencia de igualdad y ecuación, una inecuación que es válida para todas las variables se llama inecuación incondicional y las que son válidas solo para algunos valores de las variables se conocen como inecuaciones condicionales.1 Los valores que verifican la desigualdad, son sus soluciones.
Ejemplo de inecuación incondicional: {|x|\leq |x|+|y|}
{|x|\leq |x|+|y|}.
Ejemplo de inecuación condicional: {-2x+7<2} {-2x+7<2}.
Clasificación
Los criterios más comunes de clasificación del ejemplo: {x<0} x<0.
De dos incógnitas. Ejemplo:
{x<y} {x<y}.
De tres incógnitas. Ejemplo:
{x<y+z} {x<y+z}. etc.
Según la potencia de la incógnita,
De primer grado o lineal. Cuando el mayor exponente de la incógnita de la inecuación es uno. Ejemplo:
{x+1<0} { x+1<0}.
De segundo grado o cuadrática. Cuando el mayor exponente de cualquiera de sus incógnitas es dos. Ejemplo:
{x^{2}+1<0} {x^{2}+1<0}.
De tercer grado o cúbica. Cuando el mayor exponente de cualquiera de sus incógnitas es tres. Ejemplo:
{x^{3}+y^{2}<0} {x^{3}+y^{2}<0}.etc.
Nota: estas clasificaciones no son mutuamente excluyentes, como se muestra en el último ejemplo.
Inecuaciones de segundo grado con una incógnita
Se expresan a través de cualquiera de las desigualdades siguientes (con a, b y c números reales, y a distinto de cero):
-Sistema de inecuaciones
Véase también: Programación lineal
La región de viabilidad en un problema de programación lineal está definida por un sistema de inecuaciones.
En un sistema de inecuaciones intervienen dos o más inecuaciones. No todos los sistemas de inecuaciones tienen solución.
Sistema de inecuaciones de primer grado con una incógnita
Es un conjunto de inecuaciones de primer grado
